函数

函数 （正體）

微积分学

微积分基础 函数 初等函数 极限 数列 级数 夹挤定理 连续 一致连续 间断点 一元微积分 导数与微分 高阶导数 介值定理 中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 洛必达法则 求导法则 乘法定则 除法定则 倒数定则 复合函数求导法则 导数的函数应用 单调性 极值 驻点 拐点 凹凸性 曲率 积分 积分的定义 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 不定积分 积分表 三角函数积分表 反函数积分表 反双曲函数积分表 对数函数积分表 指数函数积分表 无理函数积分表 有理函数积分表 换元积分法 分部积分法 三角换元法 降次积分法 部分分式积分法 定积分 牛顿-莱布尼茨公式 广义积分 判别法 柯西判别法 阿贝尔判别法 狄里克雷判别法 主值 柯西主值 β函数 Γ函数 数值积分 牛顿-寇次公式 辛普森积分法 多元微积分 多元函数微分 多元函数 偏导数 隐函数 全微分 方向导数 梯度 泰勒公式 拉格朗日乘数 多元函数积分 重积分 二重-三重-多重 广义重积分 曲线积分 曲面积分 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式 散度和旋度 微分方程 常微分方程 分离变数法 积分因子 欧拉方法 柯西-欧拉方程 伯努利微分方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程 差分方程 拉普拉斯变换法 偏微分方程 拉普拉斯方程 微积分的应用 微积分的几何应用 平面图形的面积 平面曲线的切线和弧长 平面曲线的曲率 旋转体的体积 旋转曲面的面积 曲面的切平面和法线 空间曲线的切线和法平面 微积分的物理应用 运动的位移、加速度 力所做的功 物质的质量 静力矩、惯性矩和重心 微积分的经济应用 边际 弹性、交叉弹性 收益流的现值和将来值 成本分析、净资产分析

在数学意义上，一个函数表示每个输入值对应唯一输出值。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。

例如，表达式f(x) = x² 表示了一个函数f，其中每个输入值x都与唯一输出值x²相联系。因此，如果一个输入值为3，那么它所对应的输出值为9。一旦一个函数f被定义，例如，就可以被写为f(4) = 16。

在数学中，用像f这样临时的名字来表述函数是一个不常见的操作；在下一段中我们也许会定义f(x) = 2x+1，那么f(4) = 9。当不需要函数名称的时候，我们经常使用y=x²这样的格式。

如果一个函数经常被使用，它也许会被给予一个永久的名称，例如，

. 表示x的平方为x².

一个函数的基本特质是，对于每一个输入值都有唯一输出值与其对应。因此，例如，

.表示x的平方根为

它并不被定义为一个函数，因为它可能含有两个输出值。例如,9的平方根是是3和-3。要将一个平方根定义为一个函数，必须明确地选择一个平方根。定义

.表示x的正平方根为

对于任何非负输入值，选择那个非负的平方根作为它的输出值。

一个函数并不一定与数字有关。有一个与数字无关函数的例子是，指定每个国家当前的首都，那么，在这个函数里，

首都（法国）＝巴黎。

一个更精确，但是仍然非正式的定义如下。令A和B为两个集合。在一个从A到B的函数中，对于A每个元素x，B中都有一个被限定的唯一元素y与其对应。集合A被称为函数的定义域，而集合B被称为函数的陪域。

在一些文章——比如lambda 演算——的观念中，函数可能被认为是原始的、结构不全面、不完整的，而不是被完善的理论所定义的。

在更广的数学领域内，术语对应、映射、变换通常是函数的同义词或近义词。无论如何在一些文章中它们也许会被定义为更多的专业含义。例如，在拓扑里一个对应关系有时被定义成一个连续函数。

目录 1 概述 2 历史 3 正式定义 4 定义域、对映域和值域 5 单射、满射与双射函数 6 像和原象 7 函数图像 8 函数例子 9 函数的特性 9.1 歧义函数 10 n-元函数: 多元函数 11 复合函数 11.1 反函数 11.2 限制及扩张 12 点态运算 13 可计算和不可计算函数 14 范畴学中的函数 15 参见 16 外部连接

概述

简而言之，函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”。这一“法则”可以用函数表达式、数学关系，或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示。函数最重要的性质是其决定性，即同一输入总是对应同一输出（注意，反之未必成立）。从这种视角，可以将函数看作“机器”或者“黑盒”，它将有效的输入值变换为唯一的输出值。通常将输入值称作函数的参数，将输出值称作函数的值。

• 最常见的函数的参数和函数值都是数，其对应关系用函数式表示，函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。如下例，

f(x) = x², x 的平方, 即是函数值。

• 也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如：

g(x,y) = xy 有两个参量 x 和 y, 以乘积 xy 为值。与前面不同，这一“法则”与两个输入相关。其实，可以将这两个输入看作一个有序对 (x, y), 记 g 为以这个有序对 (x, y) 作参数的函数，这个函数的值是 xy。

• 科学研究中经常出现未知或不能给出表达式的函数。例如地球上不同时刻温度的分布，这一函数以地点和时间为参量，以某一地点、某一时刻的温度作为输出。

• 函数的概念并不局限于数的计算，甚至也不局限于计算。函数的数学概念更为宽泛，而且不仅仅包括数之间的映射关系。函数将“定义域”（输入集）与“对映域”（可能输出集）联系起来，使得定义域的每一个元素都唯一对应对映域中的一个元素。函数，如下文所述，被抽像定义为确定的数学关系。由于函数定义的一般性，函数概念对于几乎所有的数学分支都是很基本的。

历史

函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。

• 1718年，约翰·贝努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”1748年，约翰·贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”。例如f(x) = sin(x) + x³。1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”

• 19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。

• 通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。

• 到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来规范数学。他们试图将每一类数学对象定义为一个集合。狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）。狄利克雷的定义将函数视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。

正式定义

从输入值集合X 到可能的输出值集合Y 的函数f（记作 f : X → Y）是X与Y的关系，满足如下条件：

1. f 是完全的：对集合X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 满足x f y （x 与y 是f 相关的）。即，对每一个输入值，Y 中都有且只有一个与之对应的输出值。
2. f 是多对一的：若x f y 且x f z ，则y = z 。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。

定义域中任一x 在对映域中唯一对应的y 记为f(x)。

比上面定义更简明的表述如下：从X 映射到Y 的函数f 是X 与Y 的直积X × Y 的子集。X 中任一x 都与Y 中的y 唯一对应，且有序对(x, y)属于f 。

X与Y的关系若满足条件(1)，则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。X与Y的关系若满足条件(2)，则为偏函数。函数都是偏函数，但偏函数不都是函数。除非特别指明，本百科全书中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。

考虑如下例子：

	完全，但非多对一。X中的元素3与Y中的两个元素b 和c 相关。因此这是多值函数，而不是函数。
	多对一，但非完全。 X 的元素1未与Y 的任一元素相关。因此这是偏函数，而不是函数。
	完全且多对一。因此这是从X到Y的函数。此函数可以表示为f ={(1, d), (2, d), (3, c)}，或

定义域、对映域和值域

输入值的集合X被称为f 的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f 的陪域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f 得到的实际输出值的集合。注意，把对映域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对映域的子集。

计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对映域。因此定义域和对映域是函数一开始就确定的强制约束。另一方面，值域和实际的实现有关。

单射、满射与双射函数

• 单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y属于定义域，则仅当x = y时有f(x) = f(y)。
• 满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足f(x) = y。
• 双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。

像和原象

元素 x∈X在 f 的像 就是 f(x)。

子集 A⊂X 在 f 的像是以其元素的像组成 Y的子集，即

f(A) := {f(x) : x ∈ A}。

注意 f 的值域就是定义域 X 的像 f(X)。在我们的例子里， {2,3} 在 f 的像是 f({2, 3}) = {c, d} 而 f 的值域是 {c, d}。

根据此定义，f 可引申成为由 X 的幂集（由 X 的子集组成的集）到 Y 的幂集之函数，亦记作 f。

子集 B ⊂ Y 在 f 的原像（或逆像）是如下定义 X的子集：

f ⁻¹(B) := {x ∈ X : f(x)∈B}。

在我们的例子里，{a, b} 的原像是 f ⁻¹({a, b}) = {1}。

根据此定义，f ⁻¹ 是由 Y 的幂集到 X 的幂集之函数。

以下是 f 及 f ⁻¹ 的一些特性：

• f(A₁ ∪ A₂) = f(A₁) ∪ f(A₂).
• f(A₁ ∩ A₂) ⊆ f(A₁) ∩ f(A₂).
• f ⁻¹(B₁ ∪ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∪ f ⁻¹(B₂).
• f ⁻¹(B₁ ∩ B₂) = f ⁻¹(B₁) ∩ f ⁻¹(B₂).
• f(f ⁻¹(B)) ⊆ B.
• f ⁻¹(f(A)) ⊇ A.

这些特性适合定义域的任意子集 A, A₁ 及 A₂ 和输出值域的任意子集 B, B₁ 及 B₂，甚至可推广到任意子集群的交集和并集。

函数图像

函数f 的图像是平面上点对(x,f(x))的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图像可以帮助理解证明一些定理。

如果X 和Y 都是连续的线，则函数的图像有很直观表示，如右图是立方函数的图像：

注意两个集合X 和Y 的二元关系有两个定义：一是三元组(X,Y,G)，其中G 是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数 f 等于其图象。

函数例子

（详见函数列表）

• 某一特定时刻在中国每一人口与其体重之关系“wght”。
• 每个国家与其首都之关系（若不把多首都国[1]计算在内)。
• 每个自然数 n 与其平方 n² 之关系。
• 每个正实数 x 与其自然对数 ln x 之关系“ln”。注意，对于所有实数 x，ln 其实不是一个函数，因为并不是所有实数在 ln 里都有定义，即是 ln 不是完全 (total) 的。
• 每个在 平面上的点与其和原点 (0, 0) 的距离之关系“dist”
• 每个在 有孔平面 (Puntured plane) 上的点与描述该点受到原点发出的引力的矢量。

最常用的数学函数包括加法、减法、乘法、除法、幂、对数、根号、多项式、有理函数、三角函数、反三角函数、微积分等。它们统称为初等函数-- 但此名的定义会随使用的数学分支而改变。非初等函数（或特殊函数）包括 Bessel函数和伽傌函数。

函数的特性

函数可分为

• 奇函数或偶函数
• 连续函数或不连续函数
• 实函数或虚函数
• 标量函数或向量函数

歧义函数

歧义函数指可于一条数学等式中找到不少于一个正确答案。例如，4的平方根可以是2或者-2而两者的平方皆是4。

严格来说，歧义函数不完全算是函数，因为数学函数的定义对于一个输入值只能有唯一一个输出值。实际上，这样的“函数”通常被称为关系式。

大陆的名称叫多值函数

n-元函数: 多元函数

n-元函数是指输入值为 n-元组的函数。或者说，若一函数的输入值域为 n 个集合的积集的子集，这函数就是 n-元函数。例如, 距离函数 dist((x,y)) 是一个二元函数，输入值是由两个点组成的序对。另外，多复变函数（即输入值为复数的多元组）是一个重要的数学课题。

在抽象代数中, 算子其实都是函数，如乘法 "*" 是个二元函数：我们写 x*y 其实是 *(x,y)的中缀表达法。

函数式程序设计是一个以函数概念为中心的重要理论范例，其中的运算对象为多元函数，基本语法基于λ演算，而函数的复合（见下）则采用代换来完成。特别地，通过一种称为Currying的变换，可将多元函数变换为一元函数。

复合函数

函数 f: X → Y 及 g: Y → Z 的复合函数是

g o f: X → Z  :(g o f)(x) = g(f(x))。

举例, 飞机在 t 时刻的高度是 h(t)，而高度 x 处的氧气浓度是 c(x)，则在 t 时刻飞机周围的氧气浓度是 (c o h)(t)。

若 Y⊂X 则 f 可自我复合; 此时复合函数可记作 f ²（不要与三角学的符号混淆）。函数的幂的定义是对自然数 n 有

f ⁿ⁺¹= f ⁿ o f= f of ⁿ。

反函数

对一个函数 f:X→Y ，若值域 Y 中任何一个元素 y 的原象是唯一的，那么这个函数就被称为是双射的。对任意的 y∈Y 到它的原象f⁻¹(y)的映射，我们称之为 f 的反函数，记为 f⁻¹。

举一个反函数的例子，比如 f(x) = x² ，它的反函数是 f(x)⁻¹ = √x 。（啊恩！...你必须指明它的定义域是...如果你说定义域是R，那就错了）同样，2x 的反函数是 x/2。反函数是一个函数，它能够“抵消”它的原函数。参见逆映射。

限制及扩张

给出 Y 的子集 X 以及函数

，

则

f | X(x) = f(x)

称为 f 在 X 的限制。

反之，若给出函数

则一个定义在 Y 的函数 适合 f | X = g，就是 g 的扩张。

点态运算

设函数 f: X → R 及g: X → R 有 X 为共同的输入值域及环 R 为共同输出值域。 我们可以定义“函数和” f + g: X → R 及“函数积” f × g: X → R 如下:

(f + g)(x) := f(x) + g(x);

(f × g)(x) := f(x) × g(x);

对于所有 X 中的 x。

这样子我们得出一个函数组成的环。这是一个抽象性扩张的例子，由此我们由较简单的结构得出更复杂的。

若然以抽象代数 A 代替 R, 得出的由 X 到 A 的函数集会类似地拥有和 A 相同的代数结构。

可计算和不可计算函数

所有从整数到整数的可计算函数的个数是可数的，这是因为所有可能的算法个数是可数的。从整数 到整数的函数个数要更多些－和实数个数一样多，也就是说是等势的。这说明有些从整数到整数的函数是不可计算的。关于不可计算函数，请参看停机问题和莱斯定理。

范畴学中的函数

函数定义为定义域X与上域Y的关系。而在范畴学中，函数的概念被扩张成射的概念。 一个范畴包括一组物件与一组射，每一个射是个有序三元组(X, Y, f)，其中f是从定义域X到上域Y的一个关系，而定义域与上域是范畴内的物件。基于这种解释，可以把函数看作集合范畴里面的射。

参见

• Visual Calculus by Lawrence S. Husch, 田纳西大学 (2001年)

外部连接

• mysuc.com，经典函数示例
• Wolfram函数网站， 汇集了各数学函数的公式和图像

• xFunctions 一个多功能的Java小程序，可以显示函数的图像，既可以在线使用，也可以下载运行。

• FooPlot

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