矩阵

矩阵（正體）

矩阵

数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。

矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。请参考矩阵理论。

历史

方阵如拉丁方阵和幻方的研究历史悠久可追溯到史前年代。

作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants)。1750年，加布里尔·克拉默其后又定下了克莱姆法则。1800年代，高斯和威廉·约当建立了高斯－约当消去法。

1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词。研究过矩阵论的著名数学家有阿瑟·凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼。

用词

在台湾，横向称为“列”，纵向称为“行”。在中国大陆，横向称为“行”，纵向称为“列”。

定义和相关符号

以下是一个 4 × 3 矩阵：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&1&5\end{bmatrix}$

某矩阵 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j]　或 A_i,j。在上述例子中 A[2,3]=7。

在C语言中，亦以 A[i][j] 表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)

此外 A = (a_ij)，意为 A[i,j] = a_ij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作中。

一般环上构作的矩阵

给出一环 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。若 m=n，则通常记以 M(n,R)。这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故 M(n,R) 本身是一个环，而此环与左 R 模 Rⁿ 的自同态环同构。

若 R 可置换，则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数。其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。

在维基百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或复数矩阵。

分块矩阵

分块矩阵 是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 7 & 5\\ 4 & 9 & 2 & 6\\ 6 & 1 & 5 & 8\end{bmatrix}$

可分割成 4 个 2×2 的矩阵

$P_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} P_{12} = \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 7 & 5\end{bmatrix} P_{21} = \begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \end{bmatrix} P_{22} = \begin{bmatrix} 2 & 6\\ 5 & 8\end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22}\end{bmatrix}$ 。

此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。

特殊矩阵类别

对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称, 即是 a_i,j=a_j,i。
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 a_i,j=a^*_j,i。
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对, 是 a_i,j=a_i+1,j+1。
随机矩阵所有列都是概率向量, 用于马尔可夫链。

矩阵运算

给出 m×n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。举例：

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

另类加法可见于矩阵加法.

若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。例如

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.

若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。

例如

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

此乘法有如下性质：

(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。

要注意的是：交换律不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。

对其他特殊乘法，见矩阵乘法。

线性变换，秩，转置

矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：

以 Rⁿ 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rⁿ -> R^m 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得对所有 Rⁿ中的元素x， f(x) = Ax 。这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : R^m -> R^k，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。

矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵的秩。矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。

m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 A^tr （亦记作 A^T 或 ^tA），即对所有 i 、 j，A^tr[i, j] = A[j, i] 。若 A 代表某一线性变换，则 A^tr 表示其对偶算子。

转置有以下特性：

(A + B)^tr = A^tr + B^tr，(AB)^tr = B^trA^tr。

Jacobian 行列式

请参见外部链接[1]

参见

矩阵论专有名词表：有关矩阵论所用到的名词的定义
方块矩阵
矩阵范数

参考文献

外部链接

1个分类: 矩阵论

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